Tổng giám mục Bùi Văn Đọc sinh ngày 11 tháng 11 năm 1944, tại Đà Lạt.[6] Theo giấy chứng tử, ông sinh ngày 20 tháng 1 năm 1945. Quê nội ông thuộc giáo họ An Lộng (nay là giáo xứ), xã Triệu Hòa, huyện Triệu Phong, tỉnh Quảng Trị, Tổng giáo phận Huế.[14][15] Quê ngoại ông thuộc giáo xứ Cây Vông, xã Diên Sơn, huyện Diên Khánh, tỉnh Khánh Hòa, Giáo phận Nha Trang.[16] Cha ông là ông Thomas Bùi Văn Giảng và mẹ ông là bà Maria Nguyễn Thị Tỳ; bà Tỳ là cô ruột của Đức ông Phêrô Nguyễn Quang Sách (1923 – 2017),[17] nguyên Tổng Đại diện Giáo phận Nha Trang.[16][18] Cậu bé Đọc được cử hành nghi thức rửa tội vào ngày 18 tháng 12, hơn một tháng sau khi cậu chào đời.[18] Ông là người con trai duy nhất và là con út của gia đình gồm 5 người con.[19][20] Những ngày thơ ấu, cậu bé Đọc dự định theo con đường tu trì bằng cách gia nhập Dòng Chúa Cứu Thế, nhưng sau đó lại quyết định theo tu học con đường linh mục giáo phận.[21]

Từ năm 1956 đến năm 1963, ông học tại Tiểu chủng viện Sài Gòn. Trong vòng một năm sau đó thì ông học tại Đại Chủng viện Thánh Giuse Sài Gòn, và rồi ông du học ở Rôma, tại Đại học Truyền giáo Urbaniana.[6] Năm 1970, ông tốt nghiệp cử nhân Thần học, cử nhân Triết học,[16] sau đó trở về Việt Nam.[7] Trong thời kì chủng sinh, ước mơ lớn nhất của ông là trở thành một thần học gia.[3] Ông nghiên cứu, tìm hiểu và giảng dạy một trong những đề tài được đánh giá là hóc búa nhất của thần học, đó là về Chúa Ba Ngôi.[22]